مطالعه تابع متغیر مختلط 1

شرایط کوشی _ریمان

اکنون که با توابع مختلط یک متغییر مختلط آشنا شدیم ،به مشتق گیری از آنها اقدام میکنیم .مشتق ،مانند مشتق یک تابع حقیقی ،بنابر تعریف عبارت است از :

(6.22)

شکل ۶-۵ :مسیرهای مختلف نزدیک شدن به ₀ z

به شرط آنکه حد،از شیوه ی خاص نزدیک شدن به نقطه ی zمستقل است .برای متغیر های حقیقی شرط آنکه مشتق در₀x=x وجود داشته باشد ،آن است که

حد سمت راست (₀ x→x ،از مقادیر بزرگتر ) با حد سمت چپ(x→x₀ ،از مقادیر کوچکتر ) برابر باشد . اکنون به ازای z(یا ₀ z) به صورت نقطه ای در یک صفحه ،این شرط ،که حد از جهت نزدیک شدن مستقل باشد ،بسیار محدود کننده است .نمو های δx و δy به ترتیب در xوy ،را در نظر بگیرید .در نتیجه داریم:

(6.23)

همچنین

(6.24)

بنابراین داریم

. (6.25)

حالا،حد بیان شده در معادله ی( ۶-۲۳ )را بدست می آوریم ،مطابق شکل( ۶-۵)،از دو مسیر مختلف به z نزدیک می شویم .نخست ،به ازای δy=0 حدδx→0 را می یا بیم . از معادله ۶-۲۴میرسیم به

(6.26)

با این فرض که مشتقهای پاره ای وجود داشته باشند . برای مسیر دوم نزدیک شدن ،قرار می دهیم δx=0 و آنگاه حد0→δy را محاسبه می کنیم . در نتیجه

(6.27)

برای انکه مشتق df/dzوجود داشته باشد ،باید معادله های (۶.۲۶)و( ۶.۲۷ ) عین هم باشند . با مساوی قرار دادن اجزای حقیقی با هم و اجزا ی مو هومی با هم (مانند مو لفه های بردارهای مساوی )،خواهیم داشت:

. (6.28)

این شرایط را شرایط کوشی_ریمان می گویند .کوشی این شرایط را کشف کرد و ریمان از آنها در نظریه ی توابع تحلیلی به نحو گسترده ای بهره گرفت . شرایط کوشی _ریمان برای وجود مشتق ،شرایط لازم به شمار می آیند یعنی اگر وجود داشته با شد ،شرایط کوشی _ ریمان باید برقرار باشد.آنها میتوانند بطور هندسی تفسیر شوند .حالا آنها را بعنوان حاصلی از نسبت مشتقهای پاره ای می نویسیم

(6.29)

به اختصار

شکل ۶-۶:شیبهای متعامد خطهای ثابت = وثابت=.

حالا معنای هندسی u_y / u_x- را بصورت شیبtan هر منحنی( ثابت =u(x,y)) بخاطر می آوریم .معادله ۱-۵۴را ببینید .و همانند آن برای( v(x,y) =ثابت) (شکل ۶-۶). بنا براین معادله

۶-۲۹بدین معنی است که ثابت = u وثابت = v . از طرفین منحنی ها در هر محل تقاتع متعامد هستند زیرا cosα = β = sin (α+90° ) و- sinα = cosβ ایجاب میکند که 1- = tanβ .tanα با نسبت گرفتن . به طور متناوب

حالتهایی که اگر (dx,dy)مماس برمنحنیu باشد پس عمود(- dx, dy) مماس بر منحنی v در نقطه ی تقاطعz = (x,y) است . به طور معادل0 = v_y u _y + v_x u_x ایجاب میکند که شیب بردارهای

u_x , u _y ) ) و( v_yو v_x)

عمود باشد بر عکس ،اگر شرایط کوشی _ریمان برقرار ،و مشتقهای پاره ای u(x,y) وv(x,y) پیوسته باشند ،مشتق df/dz وجود خواهد داشت . برای اثبات این ادعا می توان نوشت :

(6.30)